SAYILAR TEORİSİ

 

Negatif Sayılar: Negatif Düşünmenin Pozitif Gücü

Negatif sayılar bize yüzyıllarca zihinsel eziyet yaşattı ve bir çoğumuza halen yaşatmaya devam ediyor. Bu nedenle, binalardaki yer altı katlarını B1, B2 ve B3 gibi alfa sayısal kombinasyonlarla gösteriyoruz. Bu yüzden zamanı belirtmemiz gerektiğinde sıfırı milat kabul edip, -300 yerine milattan önce 300 diyoruz. Kısacası negatif sayılardan kaçınmak için elimizden geleni yapıyoruz. Çünkü bir çok kişi hala iki negatif sayının hangisinin daha büyük olduğunu anlamakta bile zorlanıyor.

Ne Yunan ne Mısır ne de Babil matematiği negatif sayılar kavramını geliştirmedi. Kadim insanlar için sayılar saymak ve ölçmek içindi ve bu mantıkla bir şeyden daha azını saymak ve ölçmek mantıklı ve gerekli değildi. Ancak o dönemlerde Asya’da, bir noktaya kadar negatif sayılar kavranabilmişti.

Negatif Sayılar İle İlgili İlk Uyanışlar

Örneğin, Çinliler bambu çubuklar aracılığı ile kurguladıkları bir hesaplama sistemine sahipti. Normal çubuklar, “doğru” olarak adlandırdıkları pozitif sayıları, siyaha boyanmış çubuklar ise “yanlış” olarak adlandırdıkları negatif sayıları gösteriyordu. Çubukları aşağıdaki görselde gösterildiği gibi bir dama tahtasına yerleştirmişler ve bu biçimde denklem sistemlerini oluşturmuşlardı.

Çinliler, denklemleri açıklayan çubukları bir dama tahtasına yerleştirdiler – pozitif sayılar için normal olanları, negatif sayılar için siyah olanları kullandılar.

Sistemim çözümü normal çubuklardan oluşuyorsa, çözüm kabul ediliyor ancak çözüm siyah çubuklardan oluşur ise kabul edilmiyordu. Çinlilerin negatif miktarları temsil etmek için fiziksel nesneler kullanması, bu sayıların sadece pozitif miktarları hesaplamak için araçlar olsalar bile bir şekilde var olduğunu gösterdi.

Borçlar ve Servetler: Negatif Sayıların Ortaya Çıkışı

Birkaç yüzyıl sonra, Hindistan’da matematikçiler negatif miktarlar ile ilişkili olabilecek somut bir bağlam buldular. Bu para idi.. Sizden beş rupi ödünç alırsam, beş rupi borcum vardır ancak size beş rupi geri verdiğimde sıfır olacaktır. Yedinci yüzyıl gökbilimcisi Brahmagupta, pozitif ve negatif sayıların aritmetiği için “servet” ve “borçlar” adını verdiği kurallar yazdı.

Brahmagupta, servetlerin ve borçların kesin değerini, daha önce gördüğümüz gibi bugün kullandığımız ondalık gösterimin kaynağı olan sıfır ve dokuz diğer rakamı kullanarak tanımladı. Devamında Hint rakamları Orta Doğu, Kuzey Afrika ve onuncu yüzyılda İspanya’ya yayıldı. Negatif sayılar gündelik yaşamda yerini almaya başlarken matematikçiler uzun bir süre bunlara karşı temkinli davrandılar hatta neredeyse 17. yüzyıla kadar bu sayıları – numeri absurdi – kısaca saçma olarak tanımladılar.

Negatif sayıların oluşturduğu kafa karışıklığı İngiliz matematikçi John Wallis’in 1685 yılında yazdığı A Treatise of Algebra adlı çalışmasında pozitif ve negatif sayıların sıfırdan zıt yönlerdeki mesafeleri temsil ettiği “sayı doğrusu” tanımını ortaya koyana kadar devam etti. Sayı doğrusu aslında tüm zamanların en başarılı açıklayıcı diyagramıydı. Artık bu diyagram sayesinde negatif sayıları hayal etmek zorunda kalmayıp, bir çizgi üzerinde görebilir duruma gelmiştik. Yine de on sekizinci yüzyılın sonunda bile, bazı matematikçiler, negatif sayıları çalışmalarına özellikle dahil etmeyeceklerdi.

                  

Okulda negatif sayılar konusunu öğrendiğimizde, bu geçmiş tartışmalara neyse ki artık maruz kalmıyoruz. Onların anlamını ve gösterim biçimlerini anlayabiliyoruz. Ancak hemen devamında yeni bir sorun ile tanışıyoruz.
Eksi çarpı eksi eşittir artı. Sayı doğrusu, negatif sayıları görebilmemiz için harika bir araç olsa da, onları birbirleriyle çarptığımızda ne olduğuna dair bize hiçbir fikir vermez.

Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?

Negatif sayıları öğrenen herkesin aklına gelen bu sorunun cevabı aslında bizim pozitif sayılar ile çalıştığımız dönemde çarpma işlemini tanımlamamız ile ilgilidir. Negatif iki sayının çarpımının pozitif sonuç vermesi sayılar sistemini tutarlı bir hale getiren bir yapısal destek parçasıdır. Sayı doğrusunu düşünün. 0’dan iki adım ileri yürürsem, 2’ye ulaşırım. Bu iki adımı tekrar edersem 4’e ulaşırım ve tekrar tekrar edersem 6’ya ulaşırım. Aynı şekilde sıfırdan iki birim geriye gidersem –2’ye ulaşırım ve eğer –6’ya ulaştığımda adımları iki kez daha tekrarlıyorum. Bu prosedürleri denklemler olarak yorumlayabiliriz: 2 + 2 + 2 = 6 ve –2 –2 –2 = –6. Bunların çarpma işlemi ile gösterilişleri şöyledir: 3 × 2 = 6 ve 3 × –2 = –6

Bu denklemler bize pozitif çarpı pozitifin pozitife, pozitif çarpı negatifin negatife eşit olduğunu söyler. İki negatifin çarpımına ne olduğunu bulmak için son denklemde 3’ü (4 – 1) ile değiştirelim: (4 – 1) × –2 = –6;

Pozitif sayıların aritmetiğinden dağılma özelliğini biliyoruz. Bu durumda denklem şöyle olur:

• (4 × –2) + (–1 × –2) = –6
• –8 + (–1 × –2) = –6
• (–1 × –2) = 2 Ve işte sonuçta iki negatif sayının çarpımı pozitif yapmıştır.

Negatif sayılar konusunda çarpma işlemi okullarda anlatırken eksi ile eksinin çarpımı artıdır deyip geçmek yerine bu tür bir örnek ile açıklanması öğrenenlerin akıllarında olası karmaşayı ortadan kaldıracaktır.